Phương trình xác định một đường cong đại số được biểu diễn bằng tọa độ cực được gọi là phương trình cực. Trong nhiều trường hợp, có thể xác định một phương trình như vậy bằng cách biểu diễn r thành một hàm của φ. Đường cong thu được là tập hợp các điểm có dạng (r(φ), φ) và được gọi là đồ thị của hàm cực r.

Các dạng đối xứng hình học có thể được suy ra từ phương trình của hàm cực r. Nếu r(−φ) = r(φ) thì đường cong đối xứng qua tia nằm ngang (0°/180°), nếu r(π − φ) = r(φ) thì nó đối xứng qua tia nằm dọc (90°/270°), và nếu r(φ − α) = r(φ) thì nó đối xứng xoay bởi α theo chiều và ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc cực.

Do tính chất đặc biệt của hệ tọa độ cực nên nhiều đường cong có thể được mô tả qua phương trình cực đơn giản khi dạng tọa độ Descartes của chúng phức tạp hơn. Một số đường cong phổ biến nhất gồm hoa cực, xoắn ốc Archimedean, đường lemniscat, đường ốc sên và đường hình tim (cardioid).

Đối với đường tròn, đường thẳng và bông hoa cực, không có điều kiện nào cho tập xác định và tập đích của mỗi đường.

Đường tròn

Một đường tròn có phương trình r(φ) = 1

Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm (r0, γ {\displaystyle \gamma } ) và bán kính a là

r 2 − 2 r r 0 cos ⁡ ( φ − γ ) + r 0 2 = a 2 . {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}

Phương trình trên có thể đựơc rút gọn theo nhiều cách khác nhau trong các trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như phương trình

r ( φ ) = a {\displaystyle r(\varphi )=a}

của đường tròn có tâm tại gốc cực và bán kính a.[13]

Khi r0 = a, hay gốc tọa độ nằm trên đường tròn thì phương trình trở thành

r = 2 a cos ⁡ ( φ − γ ) . {\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}

Trong trường hợp tổng quát, có thể giải phương trình trên để tìm r:

r = r 0 cos ⁡ ( φ − γ ) + a 2 − r 0 2 sin 2 ⁡ ( φ − γ ) . {\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}.}

Nghiệm của phương trình với dấu âm đặt trước căn cũng cho đường tròn giống nhau.

Đường thẳng

Đường thẳng hướng tâm (đi qua gốc cực) có phương trình

φ = γ , {\displaystyle \varphi =\gamma ,}

trong đó γ là góc nâng của đường thẳng, nghĩa là γ = arctan m với m là hệ số góc của đường thẳng trong hệ tọa độ Descartes. Đường thẳng không hướng tâm vuông góc với đường thẳng hướng tâm φ = γ tại điểm (r0, γ) có phương trình

r ( φ ) = r 0 sec ⁡ ( φ − γ ) . {\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}

Nói cách khác, (r0, γ) là giao điểm của tiếp tuyến với đường tròn ảo bán kính r0.

Bông hoa cực

Một bông hoa cực với phương trình r(φ) = 2 sin 4φ

Bông hoa cực là một đường cong toán học có dạng là bông hoa nhiều cánh và có phương trình cực là

r ( φ ) = a cos ⁡ ( k φ + γ 0 ) {\displaystyle r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\gamma _{0}\right)}

với mọi hằng số γ0 (kể cả số 0). Nếu k là số nguyên thì đồ thị thu được là một bông hoa k cánh khi k lẻ và 2k cánh khi k chẵn. Nếu k là một số hữu tỉ không nguyên thì hình thu được gần giống một bông hoa nhưng các cánh hoa bị chồng lên nhau. Lưu ý rằng phương trình trên không xác định được bông hoa 2, 6, 10, 14,... cánh. Biến số a ảnh hưởng đến kích thước cánh hoa, trong khi k liên quan đến số cánh hoa của bông. Hằng số γ0 được gọi là góc pha.

Xoắn ốc Archimedean

Xoắn ốc Archimedean là một xoắn ốc do Archimedes tìm ra và có phương trình cực là

r ( φ ) = a + b φ . {\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .} Một hướng xoắn của xoắn ốc Archimedean với phương trình r(φ) = φ / 2π khi 0 < φ < 6π

Tham số a thay đổi làm quay xoắn ốc, còn b ảnh hưởng đến khoảng cách giữa các vòng xoắn (không thay đổi trong một xoắn ốc nhất định). Xoắn ốc Archimedean có hai hướng xoắn nối liền với nhau tại gốc cực, một hướng khi φ > 0 và hướng còn lại khi φ < 0. Khi chiếu một hướng xoắn qua trục 90°/270° thì ảnh phản xạ thu được là hướng xoắn còn lại. Đây là một trong những đường cong đầu tiên sau đường conic được ghi nhận và mô tả trong toán học chính luận, và là một ví dụ điển hình về đường cong được xác định rõ nhất qua phương trình cực.

Đường conic

Một elip, trong đó có hiển thị bán trục bên

Một đường conic với một tiêu điểm trên gốc cực và tiêu điểm còn lại nằm trên tia 0° (sao cho trục lớn của đường conic nằm trên trục cực) được cho bởi

r = ℓ 1 − e cos ⁡ φ {\displaystyle r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}}

với e là độ lệch tâm và ℓ {\displaystyle \ell } là bán trục bên (khoảng cách vuông góc từ một tiêu điểm trên trục lớn đến đường conic). Phương trình trên xác định một hyperbol khi e > 1, parabol khi e = 1, elip khi e < 1 và một đường tròn bán kính ℓ {\displaystyle \ell } khi e = 0.